TALLER MODELADO PARA EXAMEN

FORMULE LOS MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS 

1. Una compañía produce bibliotecas y escritorios para los cuales a establecido un precio de venta por unidad de $9000 y $10000 respectivamente. Para la producción de dichos artículos, la compañía cuenta con una disponibilidad mensual de 700 metros de madera, 800 metros de tubo y 900 pliegos de papel de lija. ¿Qué cantidad de bibliotecas y escritorios se deben fabricar mensualmente para maximizar los ingresos, si se sabe que una biblioteca consume 7 metros de madera, 10 metros de tubo y 6 pliegos de papel de lija; mientras que el escritorio consume 10 metros de madera, 8 metros de tubo y 15 pliegos de papel de lija?

2. Un sastre tiene las siguientes materias primas a su disposición: 16 m2 de algodón, 11 m2 de seda y 15m2 de lana. Un traje requiere: 2 m2 de algodón, 1m2 de seda y 1 m2 de lana. Una túnica requiere: 1m2 de algodón, 2m2 de seda y 3m2 de lana. Si el traje se vende en $300 y una túnica en $500. ¿Cuántas piezas de cada confección debe hacer el sastre para obtener la máxima cantidad de dinero?

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3. Rulisa fabrica masa para pasteles de tipo I y II. La de tipo I la vende a 5 euros el kilo, gastando 1 euro en ingredientes y 2 en mano de obra. La de tipo II se vende a 3 euros y cuestan 1 euro, tanto los ingredientes como el trabajo. Para hacer las masas se necesitan dos tipos de actividades: amasado y horneado. Rulisa dispone de 18 horas de amasado y 12 de horneado a la semana. La masa de tipo I necesita 2 horas de amasado Y 3 de horneado, mientras que la de tipo II, necesita 3 de amasado y 1 de horneado. Si la cantidad de masa que se puede vender es ilimitada, cuántos pasteles de cada tipo hay que fabricar para optimizar los beneficios semanales de Rulisa.

4. La compañía INTEL produce dos dispositivos para computadoras, (producto 1 y producto 2) y requiere partes de metal y componentes eléctricos. La administración desea determinar cuantas unidades de cada producto fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requiere 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. Por cada unidad del producto 2 se necesitan 3 unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. La compañía tiene 200 unidades de partes de metal y 300 componentes eléctricos. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $ 2 y cada unidad del producto 2 da una ganancia de $ 3.00. Formule un modelo de programación lineal para determinar cuántos productos hay de fabricar para maximizar las ganancias.

5. Ken & Larry Inc. surte su helado a los expendios en cuatro sabores: chocolate, vainilla, chicle y plátano. Debido al calor extremo y la alta demanda, la compañía tiene un déficit en el abastecimiento de los ingredientes: leche, azúcar y crema. Esto no le permite satisfacer todas las órdenes recibidas de sus expendios. Por estas circunstancias, la compañía a decidido seleccionar la cantidad que debe producir de cada sabor para maximizar la ganancia total, dadas las restricciones en las cantidades de ingredientes básicos.

Sujeto a:

• La compañía tiene solo 220 galones de leche, 170 libras de azúcar y 70 galones de crema. (por mes)

• Un galón de helado de chocolate consume: 0.45 galón de leche, 0.5 libra de azúcar y 0.10 galón de crema.

• Un galón de helado de Vainilla consume: 0.5 galón de leche, 0.4 libra de azúcar y 0.15 galón de crema.

• Un galón de helado de banano consume: 0.4 galón de leche, 0.4 libra de azúcar y 0.2 galón de crema.

• Un galón de helado de chicle consume: 0.4 galón de leche, 0.4 libra de azúcar y 0.3 galón de crema.

• La compañía para mantener su mercado cautivo de sabores a decidido también producir al menos 30 galones de helados de cada uno de los cuatro sabores.

• Los sabores de chocolate, vainilla, banano y chicle generan ganancias respectivas de $1.10, $1.0, $0.9 y $.95 por galón.

6. Una compañía fabrica dos productos, A y B. El volumen de ventas de A es por lo menos 80% de las ventas totales de A y B. Sin embargo, la compañía no puede vender más de 100 unidades de A por día. Ambos productos utilizan una materia prima, cuya disponibilidad diaria máxima es de 240 lb. Las tasas de consumo de la materia prima son de 2 lb por unidad de A y de 4 lb por unidad de B. Las utilidades de A y B son de $20 y $50, respectivamente. Determine la cantidad de productos A y B que debe producir la compañía para maximizar las utilidades.

7. ChemLabs utiliza las materias primas I y II para producir dos soluciones de limpieza doméstica, A y B. Las disponibilidades diarias de las materias primas I y II son de 150 y 145 unidades, respectivamente. Una unidad de solución A consume .5 unidades de la materia prima I, y 0.6 unidades de la materia prima II, en tanto que una unidad de la solución B consume 0.5 unidades de la materia prima I, y .4 unidades de la materia prima II.

Las utilidades por unidad de las soluciones A y B son de $8 y $10, respectivamente. La demanda diaria de la solución A es de entre 30 y 150 unidades, y la de la solución B va de 40 a 200 unidades. Determine las cantidades de producción óptimas de A y B para maximizar la utilidad.

8.    Gutchi Company fabrica bolsos de mano, bolsos para rasuradoras y mochilas. En las tres fabricaciones se usa piel y material sintético, pero la piel parece ser la materia prima limitante principal. En el proceso de producción intervienen dos clases de mano de obra especializada: costura y terminado. La tabla siguiente muestra la disponibilidad de los recursos, sus consumos por los tres productos y las precios de venta por unidad.

Hallar la cantidad de productos de cada tipo que hay que fabricar y vender diariamente para optimizar los ingresos.

      9. Un empresario tiene a su disposición dos actividades de producción, mediante la contribución de tres insumos, fundición, ensamblaje y distribución, con disponibilidades de 18 horas, 8 horas y 14 horas respectivamente y beneficio de 1 y 2 dólares respectivamente

La distribución de los insumos a los productos se resume en la siguiente tabla:

Determinar la combinación a producir para maximizar los beneficios

      10. Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender todo lo que produzca a los siguientes precios: A, Bolívares 700, cada unidad; B, Bolívares 3.500; C, Bolívares 7.000. Producir cada unidad de A necesita 1 hora de trabajo, 2 horas de acabado y 3 unidades de materia prima. Producir una unidad de B necesita 2 horas de trabajo, 3 horas de acabado y 2.5 unidades de materia prima.  Producir una unidad de C necesita 3 horas de trabajo, 1 hora de acabado y 4 unidades de materia prima. Para este período de planificación están disponibles 100 horas de trabajo, 200 horas de acabado y 600 unidades de materia prima. para formular y construir el modelo para Maximizar ingresos de venta

      11.  Una empresa manufacturera elabora tres componentes: 1, 2 y 3 para vender a compañías de refrigeración. Los componentes son procesados en dos máquinas A y B. La máquina A está disponible por 120 horas y la máquina B esta disponible por 110 horas. No más de 200 unidades de componente 3 podrán ser vendidos, pero hasta 1000 unidades de cada uno de los otros dos componentes pueden ser vendidas. De hecho, la empresa tiene ya ordenes de 600 unidades de componente 1 que deben ser satisfechas. Los beneficios de cada unidad de los componentes 1, 2 y 3 son de Bs. 8, 6 y 9 respectivamente. Los tiempos en minutos necesarios para elaborar cada componente en cada máquina son:

Cuantos componentes de cada tipo hay que fabricar para optimizar el beneficio

      12. Una empresa vende su producto, a través de agentes vendedores, mediante visitas de venta a tres tipos de clientes: Comerciales, Industriales y Profesionales. Por cada visita de venta a un cliente comercial obtiene ingresos por ventas de $ 2.000, por cada visita a un cliente industrial obtiene $ 5.000 y por cada visita a un cliente Profesional obtiene $ 10.000 de ingreso por venta. En el mes actual se dispone de 3.200 horas de los agentes vendedores para efectuar las visitas y de $ 10.000 para gastos de viáticos. La administración no permite que más del 20% del tiempo para visitas de venta se dedique a visitar clientes comerciales, ni tampoco acepta que más de un 30% del presupuesto de viáticos sea utilizado en visitas a clientes profesionales. Para visitar un Cliente Comercial se utilizan 5 horas, 8 para un Cliente Industrial y 11 para un Cliente Profesional. Los gastos de viáticos por cada visita a cliente Comercial son de $ 10; $ 14 por cada visita a cliente Industrial y a $ 35 por cada visita a cliente Profesional. Determinar cuantas visitas a realizar a clientes Comerciales, Industriales y Profesionales, si se desea maximizar los ingresos de ventas.

ACTIVIDAD DE APROPIACIÓN

REALICE LOS MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL DE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

1.    Un herrero tiene con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio. Quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña para vender, respectivamente a $ 200.000 y $ 150.000 cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de montaña 2 kgs. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña debe fabricar y vender?

2.    La fábrica LA MUNDIAL S.A., construye mesas y sillas de madera. El precio de venta al público de una mesa es de 2.700 Bs. y el de una silla 2.100Bs.  LA MUNDIAL S.A.  estima que fabricar una mesa supone un gasto de 1.000 Bs. de materias primas y de 1.400 Bs. de costos laborales. Fabricar una silla exige 900 Bs. de materias primas y 1.000 Bs de costos laborales. La construcción de ambos tipos de muebles requiere un trabajo previo de carpintería y un proceso final de acabado (pintura, revisión de las piezas fabricadas, empaquetado, etc.). Para fabricar una mesa se necesita 1 hora de carpintería y 2 horas de proceso final de acabado. Una silla  necesita 1 hora de carpintería y 1 hora para el proceso de acabado. LA MUNDIAL S.A. no tiene problemas de abastecimiento de materias primas, pero sólo puede contar semanalmente con un máximo de 80 horas de carpintería y un máximo de 100 horas para los trabajos de acabado. Por exigencias del marcado, LA MUNDIAL S.A.  fabrica, como máximo, 40 mesas a la semana. No ocurre así con las sillas, para los que no hay ningún tipo de restricción en cuanto al número de unidades fabricadas. Determinar el número de mesas y de sillas que semanalmente deberá fabricar la empresa para maximizar sus beneficios.

3.    Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene 2 naves. En la nave A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un auto se precisan 2 días-operario. En la nave B se invierten 3 días-operario tanto en carrocerías de camión como de auto. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días-operario, y la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 millones de Bs. .y de 3 millones por cada auto. ¿Cuántas unidades de cada clase se deben producir para maximizar las ganancias?

4. Una compañía fabrica tres productos: X, Y y Z. Cada producto requiere el uso de tiempo de las maquinas A y B como se indica en la tabla siguiente. El número de horas por semana que A y B están disponibles para la producción son 40 y 34, respectivamente. La utilidad por unidad sobre X, Y y Z es $10, $15 y $22, respectivamente. ¿Cual debe ser el plan de producción semanal para obtener la utilidad máxima? Cual es la utilidad máxima?

5. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio?

6. Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina  para que el coste sea mínimo?.

 7. Una empresa fabrica dos tipos de silla: ergonómica y normal. Para su construcción, una silla pasa por cuatro departamentos: ensamble, tapizado, color y terminado. Cada departamento tiene disponibles 1.000 horas, 450 horas, 2.000 horas, y 150 horas respectivamente. Los requerimientos de producción y utilidades por silla se muestran en la tabla siguiente:

	Tiempo de producción (horas)
Tipo de silla	Ensamble	Tapizado	Color	Terminado	Utilidad / silla
Normal	2	1	4	0,25 (1/4)	15
Ergonómica	3	1	6	0,5 (1/2)	20

8.    Una compañía automotriz produce automóviles tipo sedan y tipo deportivo, cada uno de los cuales debe pasar por dos departamentos de producción. La compañía esta en capacidad de producir diariamente 70 automóviles tipo sedan y 50 tipo deportivo. En el departamento A, se ensamblan los motores; en este departamento los automóviles sedan requiere 1 hora de trabajo y en los deportivos 2 horas. Actual-mente en el departamento A se pueden asignar un máximo de 120 horas de trabajo por día a la producción de ambos tipos de automóviles. En el departamento B se ensambla el chasis; en este departamento los automóviles sedan requieren 1 hora de trabajo al igual que los automóviles deportivos; en la actualidad se puede asignar un total de 90 horas de trabajo diario en el departamento B para la producción de ambos tipos de automóviles. La utilidad de cada automóvil sedan y deportivo es de US$ 1.500 y US$ 2.000 dólares respectivamente. Si la compañía puede vender todos los automóviles que produzca, con el fin de maximizar la utilidad.

9.    Una empresa produce dos tipos de metales denominadas E-9 y F-9. El tipo de metal E-9 se fabrica para uso de la compañía. El tipo de metal F-9 se destina únicamente a labores especiales. Los dos tipos de metales se producen en dos departamentos A y B. Haciendo uso de las predicciones económicas para el próximo mes, el gerente de mercadeo de la empresa cree que durante este periodo será posible vender todos los metales E9 y F9 que la empresa pueda producir. La administración debe ahora recomendar una meta de producción para el próximo mes. Es decir, ¿Que cantidad de metales E-9 y F-9 deben producirse (en toneladas), para que la utilidad sea máxima?

La utilidad por cada tonelada que se venda del metal E-9 será de US$ 5.000 y por cada tonelada de F-9, US$ 4.000 El numero de horas para producir cada tonelada de E-9 y F-9 en los departamentos A y B, se muestran en la siguiente tabla:

Departamento	Horas
	Para los E-9	Para los F-9	Total disponible
A	10	15	150
B	20	10	160

Con el objeto de mantener su posición actual en el mercado, la gerencia ha determinado que para la política de operación es necesario producir una tonelada de F-9 por cada tres de E-9. Además se sabe que un comprador ordenara por lo menos 5 tone­ladas en la producción total de E-9 y F-9 para el próximo mes.

1. Plantee el modelo de programación del problema

 10.  Una pizzería fabrica y vende pizzas, la empresa obtiene utilidades de US$ 1 por cada pizza de la casa y US$ 2 por cada pizza de carne. Cada una incluye una combinación de mezcla de masa y mezcla de carne. En este momento la empresa tiene 300 libras de masa y 600 libras de carne. Cada pizza de la casa utiliza 4 libras de masa y 0,5 libra de carne, mientras que cada pizza de carne utiliza 4 libras de masa y 1 libra de carne. ¿Cuantas pizzas de cada clase deben venderse con el objetivo de maximizar la utilidad?

UNIDAD 1: MODELADO

COMPETENCIAS A DESARROLLAR

Realizar modelos de Programación Lineal en aplicaciones de producción, inversiones, procesos de planeación de procesos para la toma de decisiones.

CONTENIDO

LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 

La Investigación de Operaciones es una ciencia gerencial, enfocada hacia la toma de decisiones, que se basa en el método científico para resolver problemas. Consiste en una serie de herramientas cuantitativas para la modelación matemática y solución de problemas  de carácter gubernamental, de producción, de servicios, gremiales ó cooperativos.

En la aplicación de la investigación de operaciones se aplican los siguientes seis pasos metodológicos científicos:

1. Análisis y formulación del problema.

2. Desarrollo del modelo.

3. Selección de datos de entrada.

4. Obtención de una solución.

5. Limitaciones del modelo y la solución.

6. Utilización del modelo.

En esta guía de aprendizaje trabajaremos la construcción de modelos matemáticos, enmarcada en el paso 1 Análisis y  formulación de un problema

Los modelos matemáticos consisten en la representación de un problema mediante un sistema de expresiones matemáticas, que al desarrollarlo permite realizar inferencias sobre la situación real que permitan, a través de esos resultados numéricos, tomar decisiones sobre las variables que interactúan en el modelo.

MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Un Modelo de Programación Lineal es un modelo matemático en el cual todos sus componentes: variables de decisión, restricciones o limitantes y Función Objetivo; presentan relaciones lineales,

Esta linealidad del modelo es importante en la medida que es mucho más fácil de resolver puesto que el Álgebra Lineal brinda procesos algorítmicos para su solución.

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La Formulación del Modelo de Programación Lineal tiene las siguientes etapas

a) Definir claramente las variables de decisión  y expresarlas simbólicamente, estas son aquellas sobre las que podemos tomar decisiones en el problema y están bajo nuestro control, se reconocen porque son las incógnitas que deben ser determinadas a partir de la solución del modelo.

. b) Definir claramente la Función Objetivo: es la formulación matemática linéal de una meta establecida en el problema, que no es más que Optimizar (Minimizar o Maximizar) y por lo tanto su valor final mide la efectividad lograda.

c) Definir claramente las restricciones y expresarlas matemáticamente como funciones lineales. Estas representan a través de igualdades o desigualdades las limitantes que presentan recursos, condiciones o requerimientos establecidos en el problema.

EJEMPLOS  DE APLICACIÓN EN UN PROBLEMA DE PRODUCCIÓN:

EJEMPLO 1.

Una fábrica de muebles produce camas y armarios. En el área de montaje se utiliza media hora en armar una cama y 45 minutos en un armario. En al área de acabado se invierte media hora para cada uno. En ambas áreas se trabajan 40 horas a la semana. La fábrica cuenta con 80 m2 de madera. Una cama utiliza 3m2 de madera y un armario 5 m2. Por otra parte, por razones de mercado, el número de camas debe ser mayor que el numero de armarios. El beneficio obtenido por una cama es de $145000 y por armario de $210000. Determinar el número de camas y armarios que se deben producir para optimizar los beneficios.
 Paso 1º: Leer detenidamente el enunciado: determinar el objetivo, definir las variables de decisión, que es lo que pregunta específicamente el problema.

VARIABLES DE DECISIÓN:

Paso 2º: Determinar la función objetivo: es lo que se pretende optimizar, se simboliza Z.

FUNCIÓN OBJETIVO:

Paso 3º: Reordenar los datos del problema y a partir de las cantidades decididas, X1 y X2, escribir el sistema de inecuaciones que determinan las restricciones. poner cuidadosa atención en si la restricción es un requerimiento de la forma ≥ (mayor ó igual que, al menos, por lo menos, como mínimo), una limitación de la forma ≤ (menor ó igual que, no mayor que, como máximo), ó = (igual a, exactamente igual a).

ESTABLECER LAS RESTRICCIONES AL PROBLEMA.

ESTABLECER LAS RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD.

Nota: Es muy importante  comprobar si las unidades de las expresiones son consistentes. Por ejemplo, si los coeficientes de una función objetivo están dados por libras, las variables de decisión que aparezcan en la función objetivo deben resultar en libras, no en toneladas ni onzas. De manera análoga, compruebe que para cada restricción las unidades del lado derecho son las mismas que las del lado izquierdo. Por ejemplo, si una de las restricciones es una limitante en horas de trabajo, el lado derecho debe ser también en horas de trabajo.

EJEMPLO 2. Una compañía fabrica y vende dos modelos de lámpara L₁ y L₂. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L₁ y de 30 minutos para el L₂; y un trabajo de máquina de 15 minutos para L₁ y de 10 minutos para L₂. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. La producción está limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al día más de 400 de L_{1 ,}  ni menos de 300 de L₂., ni más de 500 en total. Sabiendo que el beneficio por unidad es de $15000 y $10000 para L₁ y L₂, respectivamente, planificar la producción determinando cuantas lámparas deben fabricarse para obtener el máximo beneficio 

VARIABLES DE DECISIÓN:

FUNCIÓN OBJETIVO:

ESTABLECER LAS RESTRICCIONES AL PROBLEMA.

ESTABLECER LAS RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD.

EJEMPLO 3: Una compañía de fabricación de muebles ha de determinar cuántas mesas, sillas, pupitres y librerías debe hacer para optimizar el uso de sus recursos. Estos productos utilizan dos tipos diferentes de paneles, y la compañía dispone de 1500 tableros de un tipo y 1000 de otro tipo. Por otro lado cuenta con 800 horas de mano de obra. Las predicciones de venta así como los pedidos atrasados exigen la fabricación de al menos 40 mesas, 130 sillas, 30 pupitres y como máximo 10 librerías. Cada mesa, silla, pupitre y librería necesita 5, 1, 9, y 12 tableros, respectivamente, del primer tipo de panel y 2, 3, 4, y 1 tableros del segundo. Una mesa requiere 3 horas de trabajo; una silla, 2; un pupitre, 5; y una librería 10. La compañía obtiene un beneficio de 12 dólares en cada mesa, 5 dólares en cada silla, 15 dólares en un pupitre, y 10 dólares en una librería. Plantee el modelo de programación lineal para maximizar los beneficios totales.

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